De macht van differentiaalvergelijkingen

Van natuurkunde tot economie en van biologie tot geografie: talloze vakgebieden gebruiken differentiaalvergelijkingen (DVs) om systemen en processen te beschrijven. Lees hier hoe je DVs kunt inzetten in je profielwerkstuk om allerlei vraagstukken te behandelen.

Differentiaalvergelijkingen (DVs) zijn overal. Van natuurkunde tot economie en van biologie tot geografie: talloze vakgebieden gebruiken deze vergelijkingen om systemen en processen te beschrijven. Niet voor niets is het bestuderen van DVs een groot deelgebied binnen de wiskunde. Alhoewel je misschien nog niet bekend bent met deze tak van wiskunde, is de stap tussen wiskunde B en een goed basisbegrip van DVs binnen een PWS relatief makkelijk te maken.

DVs zijn vergelijkingen met afgeleiden van een functie daarin. Een simpel voorbeeld is de vergelijking: y’-ky=0. Deze specifieke DV stelt eigenlijk de vraag: ‘voor welke functie y(x) geldt dat de afgeleide van de functie gelijk is aan zichzelf keer een parameter k?’ Het antwoord hierop komt je misschien bekend voor: y(x)=e^(kx). Deze differentiaalvergelijking zou bijvoorbeeld hele simpele populatiegroei kunnen beschrijven.

Er zijn echter eindeloos veel vormen van DVs, en vanwege de breedheid van hun mogelijke toepassingen biedt dit ontzettend veel leuke mogelijkheden voor een wiskunde PWS!

Vragen ter inspiratie

  • Hoe probeerde het RIVM hun rekenmodellen voor de groei van het coronavirus zo goed mogelijk te maken?
  • Hebben alle DVs ook oplossingen? En hoe kunnen we toch zinvolle dingen zeggen over systemen die worden beschreven door een DV zonder een oplossing daarvoor te hebben?
  • Hoe kun je via een programmeertaal een simulatie maken van een systeem dat wordt beschreven door een DV?
  • Kun je de Lotka-Volterra DVs gebruiken om de hoeveelheid leeuwen en gazelles in de savanne te berekenen door de tijd?
  • Kun je op basis van DVs een model maken dat beleggers gebruiken om geld te verdienen? Wat zijn de grenzen van zo’n model?
  • Hoe kan chaos in de natuurkunde worden begrepen door DVs?
  • Wat is de ‘orde’ van een DV? Waarom kan een elektrisch circuit worden aangedreven als een DV ‘inhomogeen’ is? En hoe kan het Schrödingers kat gedachte-experiment worden begrepen als een gevolg van de ‘lineariteit’ van een DV?

Literatuurtips

  • Boek: “A first course in differential equations” door J. David Logan (2015).
  • Youtube: “Differential equations, a tourist’s guide” door 3Blue1Brown (een fantastisch wiskundekanaal!) https://www.youtube.com/watch?v=p_di4Zn4wz4
  • Wetenschappelijk paper: “DV model-fitting analysis of COVID-19” door Beira & Sebastiao. https://www.nature.com/articles/s41598-021-95494-6 (tip: zoek eerst wat simpele uitleg op over de DVs achter populatiegroei, en kijk dan eens of je deze principes een beetje terug ziet komen in dit high-level model!)