Hoe je de vorm van een trommel ‘hoort’

Hoe is het mogelijk dat je de vorm van een object kunt herkennen door ernaar te kijken, ondanks dat je het maar in een beperkt aantal golflengtes kunt zien? Dit laat Radboud wiskundige Walter van Suijlekom zien in een nieuwe publicatie in het tijdschrift Communications in Mathematical Physics op 14 juli. ‘Vergelijk het met mp3: met een beperkt aantal geluidsgolven krijg je toch al snel de indruk naar een analoog stuk muziek te luisteren.’ Uiteindelijk betekent deze vondst dat de vorm van ons universum in principe te berekenen moet zijn.

Hoe je de vorm van een trommel ‘hoort’

‘Kun je de vorm van een trommel horen?’, is de bekende uitspraak van wiskundige Mark Kac uit 1966. Trommels van verschillende vormen veroorzaken immers geluid met verschillende frequenties en daarmee een andere klank. Is dat genoeg om aan de hand daarvan de vorm te bepalen? Kac oordeelde destijds van niet, maar Walter van Suijlekom en Alain Connes hebben het probleem de laatste twee jaar verder onderzocht en kwamen tot nieuwe inzichten.

Van Suijlekom en Connes, die in 1982 de prestigieuze Fields Medal won, zochten uit hoe je met een beperkt aantal trillingen toch wat kan zeggen over de vorm van een object. Daarvoor ontwikkelden ze een nieuwe wiskundige theorie. Die beschrijft dat je door ‘lokaal te luisteren naar de vorm van de trommel’ z’n vorm heel precies kunt benaderen.

Van analoog naar digitaal

‘Vergelijk het bijvoorbeeld met een mp3’tje’, zegt van Suijlekom. ‘Een muziekstuk wordt door instrumenten geproduceerd als analoog signaal, met oneindig veel verschillende geluidsfrequenties. Maar van dit analoge signaal wordt een digitaal signaal gemaakt door het te beperken tot een eindig aantal frequenties; een mp3-bestand. Toch is het zo dat als je maar genoeg frequenties meeneemt in het mp3’tje, het verschil met het origineel al snel (bijna) niet meer te horen is.’

De vorm van ons universum benaderen

Waar die digitale mp3’s toch een beeld geven van de analoge oorsprong, bieden de beperkte waarnemingen die we hebben van ons universum genoeg houvast om ook daar een beter beeld van te krijgen. In natuurkundig onderzoek wordt veel gebruik gemaakt van trillingen. Aan de hand van lichtfrequenties die sterren en andere hemellichamen uitstoten, kunnen wetenschappers bepalen hoe deze objecten er uit zien.

Van Suijlekom: ‘Wij ontwikkelen de wiskunde hierachter. We beschrijven hierbij hoe je de vorm van iets kunt berekenen als je slechts een eindig aantal van die trillingen tot je beschikking hebt, precies zoals in een natuurkundig experiment.’

Dit betekent dat het in principe ook mogelijk moet zijn de vorm van ons universum te benaderen met eindig veel frequenties. Dit kan dan bijvoorbeeld worden gesimuleerd op een computer, iets waar ook in Nijmegen momenteel aan wordt gewerkt door de onderzoeksgroep van Van Suijlekom.

Publicatie

‘Spectral truncations in noncommutative geometry and operator systems’, Alain Connes, Walter D. van Suijlekom. Communications in Mathematical Physics

Meer weten? Neem contact op met

Aan deze website wordt nog gewerkt. Meer informatie: 'een nieuwe website'.