Over ons onderzoek

Het onderzoek binnen deze groep kenmerkt zich door zijn interdisciplinaire karakter. Er zijn nauwe banden met de groepen Toegepaste Stochastiek en Mathematische Fysica, evenals met andere onderzoeksinstituten aan de Radboud Universiteit. Deze groep richt zich zowel op de theoretische als numerieke aspecten van problemen, en is momenteel gespecialiseerd in de volgende thema's: Toegepaste Analyse, Modellering en Toepassingen, en Numeriek en Berekening.

Applied Mathematics

Deze groep richt zich op moderne mathematische natuurkunde, met name op de twee grote fundamentele theorieën van de natuurkunde: algemene relativiteitstheorie en kwantumveldentheorie. Hun interesse ligt zowel bij de zuivere als toegepaste wiskundige onderwerpen die hier nodig zijn, maar ook bij toepassingen aan de grenzen van de fundamentele natuurkunde. Er is een sterke samenwerking met de nabijgelegen vakgroepen astrofysica en high-energy fysica.

Mathematical Physics

Voor veel complexe systemen in de natuur en de samenleving biedt willekeurigheid een efficiënte beschrijving met grote verklarende en voorspellende kracht. Stochastiek is het gebied van de wiskunde dat zich bezighoudt met processen en objecten waar willekeurigheid een rol speelt.

Probability and Statistics

Pure Wiskunde is een zeer breed gebied dat vele deelgebieden omvat. Onder de belangrijkste richtingen die vertegenwoordigd zijn in deze onderzoeksgroep vallen onder andere: Algebraïsche en Arithmetische Meetkunde, Algebraïsche Topologie, Differentiële Meetkunde, Logica en Computer Algebra, Getaltheorie, en Representatietheorie en Lie-theorie.

Pure Mathematics

Overlevingsanalyse, tijdvariërende covariabele

We streven ernaar het effect van een tijdvariërende covariabele op een overlevingsuitkomst te modelleren. Bijvoorbeeld een marker die in het bloed gemeten kan worden en het terugkeren van kanker. Methoden zijn ontwikkeld voor individuele personen en één gebeurtenis, maar niet voor tweelingdata, terugkerende gebeurtenissen, concurrerende risico's, vertraagde toelating.

Fractale percolatie (kansrekening)

Fractale percolatie is een stochastische fractale deelverzameling van het eenheidsvierkant. Deze deelverzameling wordt gegenereerd door herhaaldelijk op te delen in kleinere vierkanten en daar een willekeurige selectie uit te maken op steeds kleinere schalen. Het doel van het project is het onderzoeken van eigenschappen van de limietverzameling. In het bijzonder hoe samenhangendheid van de limietverzameling afhangt van de parameters.

Analyse en numeriek van multifysische systemen in de akoestiek

Gekoppelde systemen in bio-akoestiek en elasto-akoestiek ontstaan als modellen in belangrijke medische toepassingen, variërend van contrastbeeldvorming en tumorbehandeling tot gerichte medicijnafgifte. Het doel van het project is analytische onderzoeken van de onderliggende multifysische modellen met evolutie PDE's uit te voeren en hun efficiënte numerieke benadering te ontwikkelen.

Stochastische optimalisatiemethoden in machine learning

Stochastische gradiëntdaling is het belangrijkste gereedschap voor machine learning en grootschalige optimalisatie. Een interessant probleem is hoe de tijdstap in het algoritme efficiënt aan te passen om convergentie te verzekeren en potentiële minima te verkennen. Dit project zou temming, adaptiviteit en andere ideeën onderzoeken en vergelijken om stabiliteit van de simulaties te controleren.

Wiskundige biologie

We streven ernaar fenomenen in de biowetenschappen te modelleren en analyseren: bijvoorbeeld biofilmgroei, kankerceminvasie of moleculaire celsignaalorganismen. Afhankelijk van de concrete toepassing worden de modellen geformuleerd als stelsels van ODE's, PDE's en/of stochastische ODE's of PDE's. Projecten kunnen een theoretische focus hebben of interdisciplinair zijn in samenwerking met onderzoeksgroepen van de FNWI of het Radboudumc.

Vormsonzekerheidskwantificatie voor neurowetenschappen

De geometrie van de hersenen heeft belangrijke gevolgen voor zijn activiteit, maar is onderhevig aan onzekerheid, bijvoorbeeld door variabiliteit tussen individuen en benaderingen inherent aan beeldvormingstechnieken. In dit project in samenwerking met de Vrije Universiteit Amsterdam streven we ernaar het wiskundige en numerieke kader vast te stellen om het effect van geometrische onzekerheid van de hersenen op neuronale activiteit te kwantificeren.

Ontwerpen van microstructuur voor functionele materialen

Materialen hebben microstructuren die hun macroscopische gedrag bepalen. Ondanks dat de informatie op het microscopische niveau is, is het meestal handiger om een macroscopische beschrijving van de situatie te hebben. Het doel van het project is om rigoureus zo'n macroscopische beschrijving te krijgen, en deze kennis te gebruiken om composietmaterialen met specifieke eigenschappen te ontwerpen.

Singulariteitsstellingen via optimaal transport theorie

De singulariteitsstellingen in de algemene relativiteitstheorie (teruggaand op Roger Penrose en Stephen Hawking) tonen aan dat singulariteiten onvermijdelijk zijn bij de oerknal en in zwarte gaten. Energievoorwaarden die geometrisch geformuleerd worden als ondergrenswaarden voor Ricci-kromming zijn een belangrijk ingrediënt in deze resultaten. In de afgelopen jaren is een synthetische theorie voor tijdachtige en nul-Lorentziaanse Ricci-kromming ondergrenswaarden ontwikkeld met behulp van optimaal transport theorie. In dit project leer je definities voor Lorentziaanse synthetische ruimten en herformuleer/herbewijs je de singulariteitsstellingen in dit nieuwe kader.

Kwantumsymmetrische paren in kwantumgroepen

Het doel van het project is het onderzoeken van kwantumsymmetrische paren in kwantumgroepen, die beschouwd kunnen worden als de juiste analogie van symmetrische ruimten, zoals bollen, hyperboloïden, enzovoort. Een belangrijke toepassing van deze theorie is de mogelijkheid om niet-commutatieve harmonische analyse uit te voeren op kwantumsymmetrische ruimten, door gebruik te maken van zowel algebraïsche technieken als operator algebra's. Door verder gebruik te maken van gereedschappen uit orthogonale veeltermen en speciale functies en hun wisselwerking met representatietheorie van kwantumgroepen willen we de kwantumsymmetrische paren begrijpen.

Automorfismen van reguliere bomen

Een oneindige boom waarin alle knopen dezelfde graad hebben heeft een enorme groep van automorfismen. We zullen kijken naar groepen van automorfismen die transitief werken op kanten en op oneindige lijnen in de bomen. Dergelijke groepen hebben een verrassend rijke structuur, met vele ondergroepen die samen een BN-paar vormen. Op deze manier extraheert men uit zuivere meetkunde iets dat sterk lijkt op een algebraïsche groep, namelijk op SL(2,Q). Het doel van het project is stellingen van dit soort te bewijzen met elementaire technieken.

Hogere-graadspunten op algebraïsche krommen

Welke stelsels van polynoomvergelijkingen met gehele coëfficiënten (zogenaamde Diofantische vergelijkingen) hebben slechts eindig veel oplossingen? Deze klassieke vraag ligt aan het hart van de arithmetische meetkunde. Faltings' beroemde stelling beweert dat elke algebraïsche kromme van geslacht ten minste twee slechts eindig veel rationale punten heeft. Maar wat als we de klasse van oplossingen verbreden? Wanneer heeft bijvoorbeeld een kromme van geslacht ten minste twee oneindig veel punten gedefinieerd over kwadratische getallenlichamen (of kubiek, of kwartiek,...)? In dit project verkennen we dergelijke hogere-graads oplossingen, onderzoeken we de voorwaarden waaronder Diofantische vergelijkingen oneindig veel punten van begrensde graad toelaten, en hoe deze resultaten verbonden zijn met diepe geometrische en arithmetische eigenschappen van de onderliggende krommen.