- Het kunnen bepalen van de machtigheid van een verzameling
- Het kunnen rekenen met kardinaalgetallen
- Het kunnen toepassen van het keuzeaxioma en het lemma van Zorn
- Het kunnen toepassen van transfiniete inductie langs welordeningen
- Het kunnen manipuleren van predikaatlogische formules
- Vertrouwdheid met de begrippen geldigheid en logisch gevolg
- Het kunnen toepassen van de compactheidsstelling
- Het kunnen geven van afleidingen van predikaatlogische formules in natuurlijke deductie
- Het begrijpen van de noties consistentie en volledigheid
- Het verdiepen van het modelbegrip en de notie van geldigheid
- Het kunnen bewijzen van resultaten uit de elementaire modeltheorie
|
|
|
Dit college is een inleiding in de wiskundige logica. Het eerste deel van het college draait om het begrip machtigheid van een verzameling en het bijbehorende rekenen met kardinaalgetallen.Behandeld worden onder meer de verschillende vormen van het keuzeaxioma, welordeningen, en transfiniete inductie. Vervolgens behandelen we de klassieke predikaatlogica en het bijbehorende wiskundig modelbegrip. We ontwikkelen enige modeltheorie, en in het bijzonder bespreken we de compactheidsstelling en de toepassingen daarvan. Een doel van de modeltheorie is het klassificeren van wiskundige structuren, en daartoe behandelen we de begrippen isomorfie, (elementair) submodel, en categoriciteit. Ook bewijzen we de stellingen van Löwenheim en Skolem over de mogelijke kardinaliteit van modellen. In het derde deel van het college behandelen we de theorie van wiskundige bewijzen en bewijzen we de volledigheidsstelling. Tenslotte bespreken we de axioma's van de verzamelingenleer.
Onderwerpen die in het college aan de orde komen zijn:
- kardinaalgetallen en de continuumhypothese
- het keuzeaxioma en zijn equivalenten
- partiele ordeningen en het lemma van Zorn
- welordeningen en transfiniete inductie
- het wiskundig modelbegrip
- de begrippen geldigheid en logisch gevolg
- de compactheidsstelling en toepassingen daarvan
- propositielogica en predikaatlogica
- formele bewijzen in natuurlijke deductie
- consistentie en volledigheid
- de volledigheidsstelling
- de compactheidsstelling
- de stelling van Löwenheim-Skolem
- isomorfie en elementaire submodellen
- kwantoreliminatie voor algebraisch afgesloten lichamen
- categoriciteit
- de axioma's ZFC voor de verzamelingenleer
|
 |
|
|
| Eerste jaar bachelor wiskunde, met name Analyse 1, Inleiding in de Wiskunde, Lineaire Algebra, Inleiding Grafentheorie, Groepentheorie. Daarnaast helpt kennis van Analyse 2, Topologie, en Ringen en Lichamen voor het begrijpen van de voorbeelden. |
|
|
|