- Hilbert-ruimtes (inproduct, Cauchy-Schwarz ongelijkheid, norm, abstracte Fourier-ontwikkeling, de voorbeelden l2 en L2, directe som, tensorproduct);
- Banach-ruimtes (met als belangrijkste voorbeelden Lp-ruimtes en de ruimte van begrensde operatoren op een Hilbert (of Banach)-ruimte), duale Banach ruimtes, en topologiën en als belangrijke stellingen: Hahn-Banach stelling, Baire category stelling, het principe van uniforme begrensdheid (Banach-Steinhaus), open afbeeldingstelling, stelling van Banach-Alaoglu;
- Begrensde operatoren op Hilbert-ruimtes: geadjungeerde operator, normale, zelf-geädjungeerde, unitaire operatoren, partiele isometrieen, polaire decompositie, compacte operatoren. De spoor en Hilbert-Schmidt operatoren.
- Spectraaltheorie van begrensde normale operatoren op Hilbert-ruimtes, compact al dan niet.
- Beginselen van de theorie van Banach-algebra's.
|
|
Dit college geeft een kennismaking met de functionaalanalyse. Dit gebied van de wiskunde is tussen 1900 en 1930 ontstaan, waarbij het werk van Stefan Banach (1992-1945) een sleutelrol heeft gespeeld. Functionaalanalyse kan worden gezien als een generalisatie van lineaire algebra naar oneindig dimensionale vectorruimtes voorzien van een geschikte topologie, met als prototype de (vector-)ruimten van functies. Daarmee heeft het vak zowel een abstracte kant, waarin zeer algemene stellingen over topologische vectorruimten, zoals Hilbert- en Banachruimtes ,en lineaire operatoren aan bod komen, en een concrete kant, waarin naar expliciete voorbeelden en toepassingen wordt gekeken, zoals Schrödinger operatoren.
De functionaalanalyse vormt bijvoorbeeld de wiskundige taal van de kwantummechanica, en om deze reden is dit college dan ook sterk aanbevolen voor (theoretisch) fysici en studenten in de dubbele bachelor W+N. Ook de moderne theorie van partiële differentiaalvergelijkingen, zowel lineaire als zogenaamde integreerbare niet-lineaire, berust voor een belangrijk deel op de functionaalanalyse.
In dit college is er een evenwicht tussen abstracte functionaalanalyse en concrete voorbeelden door uitgebreid te kijken naar de ruimtes l^p en lineaire operatoren op Banach en Hilbertruimten. Op deze manier worden wiskundigen goed voorbereid op het mastervak "Functional Analysis" in de landelijke master wiskunde en zien fysici het correcte wiskundige formalisme voor hun vak. Ook voor mijn masterval Operator Algebra's is dit geschikt als voorbereiding.
Instructional Modes
|
|
|
|
Analyse 1 en 2, Lineaire Algebra A and B, Topologie.
Heel sterk aangeraden (maar niet absoluut onmisbaar): Maattheorie
|
|
Inlevervraagstukken en schriftelijk tentamen |
|
|