Een deelverzameling X van een vectorruimte V heet "convex" als met ieder tweetal punten X het lijnstuk dat ze verbindt helemaal tot X behoort. In het vlak is een massieve cirkelschijf convex, een cirkelomtrek niet. Een functie op (een deel van) een vectorruimte V heet "convex" als in de vectorruimte VxIR het gebied boven zijn grafiek een convexe verzameling is. Het college betreft zowel convexe verzamelingen als convexe functies.

Over convexe verzamelingen in het algemeen ben je gauw uitgepraat. In de praktijk heb je twee situaties: de vectorruimte V is óf eindigdimensionaal, óf oneindigdimensionaal en voorzien van een topologie. De laatste situatie behoort tot de functionaalanalyse; het college behandelt voornamelijk de eerste. In de eindigdimensionale ruimten komen o.a. "extreme punten" aan bod: bij een driehoek in het vlak de hoekpunten, bij een cirkelschijf-met-rand de randpunten; een open cirkelschijf heeft er geen. Stelling: Een niet-lege verzameling die convex, gesloten en begrensd is, heeft extreme punten; uit die extreme punten is de verzameling te reconstrueren. Voor begrensde convexe verzamelingen kun je niet alleen een volume definiëren, maar ook een oppervlakte. Stelling: Onder alle convexe deelverzamelingen van R³ met een gegeven volume heeft een bol de kleinste oppervlakte. Convexe functies blijken automatisch netheidseigenschappen te hebben. Convexe functies met als domein de hele R³, bijvoorbaald, zijn continu en in de "meeste" punten differentieerbaar. Veel problemen uit toepassingsgebieden van de wiskunde blijken neer te komen op het bepalen van de kleinste waarde van een convexe functie.