De student:
- is bekend met sigma-algebra's, positieve en complexe maten.
- kent de meest belangrijke constructies van maten (Caratheodory, Lebesgue).
- kent en kan omgaan met de convergentiestellingen van Fatou en Lebesgue.
- kent en kan omgaan met absolute continuiteit en de Radon-Nikodym stellingen.
- kent en kan omgaan met product maten en de stelling van Fubini.
- kent en kan omgaan met de grondslagen van Lp ruimtes.
|
|
In Analyse 1+2 heb je de Riemann integratie van functies op begrensde gebieden in R en R^n gezien. De definitie van de Riemann integraal, en ook het bewijs van Riemann-integreerbaarheid voor continue en voor monotone functies, zijn vrij eenvoudig. Maar de Riemann integraal heeft vele gebrekken:
- De definite werkt alleen voor begrensde functies op begrensde gebieden; in algemenere situaties moet men limieten bekijken, dus de oneigenlijke Riemann integraal
- Maar ook daarmee zijn er veel niet-integreerbare functies. Bijvoorbeeld de charakteristieke functie van de verzameling van rationele getallen is niet Riemann integreerbaar
- Wat nog zwaarder weegt: er zijn weinig stellingen over de verwisseling van meerdere integraties of van integratie en limieten
Voor functies op R^n is de oplossing gegeven door de Lebesgue integraal die rond 1900 door Lebesgue ontwikkeld is. Maar de Lebesgue-integraal kan veel algemener gedefinieerd worden, namelijk op alle verzamelingen die van een positief maat voorzien zijn. Zo'n verzameling hoeft niet 'eindig-dimensionaal' te zijn, en deze vrijheid is belangrijk voor toepassingen van de integratietheorie in de kansrekening, de groepentheorie, de functionaalanalyse, etc. |
|
|