- De student is bekend met sigma-algebra's, positieve en complexe maten
- De student kent de meest belangrijke constructies van maten (Caratheodory, Lebesgue).
- De student kan omgaan met de convergentiestellingen van Fatou en Lebesgue, met absolute continuiteit en de Radon-Nikodym stellingen.
- De student kent en kan omgaan met product maten en de stelling van Fubini.
- De student is bekend met de grondslagen van Lp ruimtes.
|
|
In Analyse 1+2 heb je de Riemann integratie van functies op begrensde gebieden in R en R^n gezien. En howel de definitie van de Riemann integraal, en ook het bewijs van Riemann-integreerbaarheid voor continue en voor monotone functies vrij eenvoudig zijn, heeft de Riemann integraal een aantal gebreken:
- De definite werkt alleen voor begrensde functies op begrensde gebieden; in algemenere situaties moet men limieten bekijken, dus de oneigenlijke Riemann integraal
- Er veel niet-Riemann-integreerbare functies. Bijvoorbeeld de charakteristieke functie van de verzameling van rationele getallen is niet Riemann integreerbaar
- Er zijn weinig stellingen over de verwisseling van meerdere integraties of van integratie en limieten
Voor functies op R^n is de oplossing gegeven door de Lebesgue integraal die rond 1900 door Lebesgue ontwikkeld is. Dit kan worden gezien als het begin van de maattheorie (waarop dit vak een inleiding geeft). De Lebesgue-integraal kan namelijk veel algemener worden gedefinïeerd, namelijk op alle verzamelingen die van een zogeheten positieve maat voorzien zijn. Zo'n verzameling hoeft niet 'eindig-dimensionaal' te zijn, en deze vrijheid is belangrijk voor toepassingen van de integratietheorie in de kansrekening, de groepentheorie, de functionaalanalyse, etc. Het doel van deze cursus is om de benodigde begrippen te leren kennen en de basisvaardigheden te ontwikkelen die nodig zijn voor een verdere studie van de zojuist genoemde onderwerpen.
|
|
|
|
|
Waarschijnlijk een schriftelijk tentamen |
|
|