De student(e)
- is vertrouwd met de basale theorie van matrix groepen en de meest belangrijke voorbeelden,
- beheerst de matrix exponentiaal- en logaritme functies en de
- Baker-Campbell-Hausdorff stelling en de een of ander vertakking,
- kan omgaan met Lie algebras, hun verband met matrix Lie groepen, incl. homomorfismes en ondergroepen/deel-Lie-algebra's.
- heeft inzicht in de grondslagen van representatie-theorie van Lie algebra's en matrix Lie groepen.
|
|
Het doel van deze cursus is een inleiding te geven, op een gepast niveau voor het derde jaar in het Bachelor programma, in de theorie van continue matrix groepen. Denk bijv. aan GL(n,F), SL(n,F), O(n,F), SO(n,F), where F=R or F=C, of SU(n) die van Lineaire Algebra bekend zullen zijn. Deze groepen zijn Lie groepen, dus groepen voorzien van een compatible structure van gladde varieteit. Dit aspect van hun definitie zorgt ervoor dat de normale studie van Lie groepen behoorlijke voorkennis vereist. Om dit te voorkomen zullen wij een concrete aanpak volgen die samenhangende groepen van matrices bestudeerd en niet meer voorkennis vergt dan Analyse 2 en een beetje Topologie. Het is niet zo dat elke Lie groep isomorf is aan een matrixgroep, maar de meeste wel, met name de compacte groepen.
Deze cursus zou een uitstekende voorbereiding kunnen zijn voor een Mastermath vak over Lie groepen, met name in combinatie met een cursus over manifolds. Maar hij kan ook een vervanger zijn (ook geschikt voor Master studenten) voor de lastigere studie van Lie groepen voor mensen die best wat willen leren over continue groepen zonder de behorlijke investering in de grondslagen die voor Lie groepen noodzakelijk zijn.
Wee gaan de volgende onderwerpen bekijken:
- Matrix Lie groepen: Definities, voorbeelden, basale eigenschappen
- De Matrix exponentiaalfunctie en logaritme
- Lie algebra's en hun verbanden met (matrix) Lie groepen
- Grondslagen van de representatietheorie
- De formule van Baker-Campbell-Hausdorff formula en zijn toepassingen
- Representaties van sl(3,C)
Werkvormen
|
 |
|
|
|
Analyse 1+2, Topologie, Inleiding Groepentheorie
|
|
|
|